Математический маятник

Колебания математического маятника.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).

Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .

На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).

Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что  или  - циклическая частота при колебаниях математического маятника.

Период колебаний  или  (формула Галилея).

Формула Галилея 

Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии.

Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: .

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то  .

Производная суммы равна сумме производных:   и      .

Следовательно: , а значит .