Колебания математического маятника.
|
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).
|
![Математический маятник](/public/resize/img/formula/image001_19-142x151.png)
|
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .
|
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
|
Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .
|
![длина дуги приблизительно равна смещению](/public/img/formula/image010_22.gif)
![длина дуги приблизительно равна смещению](/public/img/formula/image012_20.gif)
|
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .
Видно, что или - циклическая частота при колебаниях математического маятника.
|
![циклическая частота при колебаниях математического маятника](/public/img/formula/image018_16.gif)
|
Период колебаний или (формула Галилея).
|
Формула Галилея ![формула Галилея](/public/img/formula/image023_5.gif)
|
Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!
|
|
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии.
Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:![потенциальная энергия тела в поле тяготения равна](/public/img/formula/image028_9.gif)
|
![Математический маятник](/public/resize/img/formula/image001_19-142x151.png)
|
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: .
Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .
Производная суммы равна сумме производных: и .![Производная суммы равна сумме производных](/public/img/formula/image037_2.gif)
|
|
Следовательно: , а значит .
|
|