Пружинный маятник

Колебания пружинного маятника.

В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х₁, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.

Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но ,

тогда: .

Или  - ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.

Выразим ускорение:.

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что  или  - циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.

Период колебаний  или  (формула Гюйгенса).

Формула Гюйгенса: 

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:.

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .

Производная суммы равна сумме производных:  и .

Следовательно:,  а значит .

В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.